FIR 滤波器设计：对称结构与频率约束

为什么选择偶数长度就做不了高通？探索下方内容揭晓答案。

1. 结构实验室：动手体验对称性

拖动左侧的蓝色圆点改变系数值，观察右侧镜像点如何自动保持对称/反对称关系。
↕ 拖动蓝点，观察对称变化
阶数 (Order) M = 10
$$h[n] = h[N-1-n]$$
相位斜率恒定

2. 四种线性相位类型 👆 点击卡片查看详情

FIR 系统的频率特性由 长度 N 的奇偶 和 对称性 共同决定。每种类型都有其独特的约束条件。

Type I

N=奇数, 偶对称

Type II

N=偶数, 偶对称

Type III

N=奇数, 奇对称

Type IV

N=偶数, 奇对称

详解：Type I (N奇, 偶对称)

幅度响应公式：
$$ H(\omega) = e^{-j\omega \frac{N-1}{2}} \sum_{n=0}^{(N-1)/2} a[n] \cos(\omega n) $$
💡 通俗解释：

这是最完美的类型。没有任何强制零点。你可以用它设计低通、高通、带通、带阻等任何滤波器。它是 FIR 设计中的万金油。

低通 OK 高通 OK 带通 OK

幅度响应 $|H(\omega)|$ 示意图

3. 快速参考：四类型对比总结

根据你的滤波器需求，选择合适的类型：

类型 长度 N 对称性 $\omega=0$ (DC) $\omega=\pi$ (高频) 适用场景
Type I 奇数 偶对称 ✓ 无约束 ✓ 无约束 通用（推荐）
Type II 偶数 偶对称 ✓ 无约束 ✗ 强制为0 低通、带通
Type III 奇数 奇对称 ✗ 强制为0 ✗ 强制为0 Hilbert、微分器
Type IV 偶数 奇对称 ✗ 强制为0 ✓ 无约束 高通微分器
设计建议：如果没有特殊需求，优先选择 Type I（奇数长度 + 偶对称），因为它没有任何频率限制，设计灵活度最高。