Step 1: 极点分解
解 $s^2+s+1=0$ 得极点 $p_1 = -0.5 + j\frac{\sqrt{3}}{2}, \ p_2 = -0.5 - j\frac{\sqrt{3}}{2}$。
展开式：$H_a(s) = \frac{A}{s-p_1} + \frac{A^*}{s-p_2}$，其中 $A = \frac{1}{p_1-p_2} = \frac{1}{j\sqrt{3}}$。
Step 2: 映射替换
利用 $\frac{1}{s-p} \to \frac{1}{1-e^{pT}z^{-1}}$，代入 $T=2$：
$H(z) = \frac{A}{1 - e^{(-1+j\sqrt{3})}z^{-1}} + \frac{A^*}{1 - e^{(-1-j\sqrt{3})}z^{-1}}$
Step 3: 通分合并
$$ H(z) = \frac{ A(1-e^{p_2 T}z^{-1}) + A^*(1-e^{p_1 T}z^{-1}) }{ 1 - (e^{p_1 T} + e^{p_2 T})z^{-1} + e^{(p_1+p_2)T}z^{-2} } $$
利用 $A+A^*=0$ 且 $A-A^* = \frac{2}{j\sqrt{3}}$，化简后分子为 $\frac{2}{\sqrt{3}}e^{-1}\sin(\sqrt{3})z^{-1}$。
代入 $T=2$，即用 $s = \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$ 替换：
$$ H(z) = \frac{1}{ \left( \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}} \right)^2 + \left( \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}} \right) + 1 } $$
分子分母同乘 $(1+z^{-1})^2$ 并整理系数：
Step 1: 极点分解
$H_a(s) = \frac{b}{(2s+1)(s+1)} = \frac{b}{2(s+0.5)(s+1)}$。
部分分式展开：$H_a(s) = \frac{b}{s+0.5} - \frac{b}{s+1}$。
Step 2: 映射替换
利用 $\frac{1}{s-p} \to \frac{1}{1-e^{pT}z^{-1}}$，代入 $T=2$：
$$ H(z) = \frac{b}{1 - e^{-0.5 \times 2}z^{-1}} - \frac{b}{1 - e^{-1 \times 2}z^{-1}} $$
代入 $T=2$，即用 $s = \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$ 替换：
$$ H(z) = \frac{b}{ 2\left( \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}} \right)^2 + 3\left( \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}} \right) + 1 } $$
分子分母同乘 $(1+z^{-1})^2$，注意分母二次项系数抵消：