IIR滤波器结构对比
直接I型 · 直接II型 · 级联型(4种配对) · 并联型
同一个传递函数可以通过不同的结构来实现。本页展示了一个二阶IIR滤波器的多种实现结构，包括详细的数学分解步骤。级联型展示了两个零点和两个极点的所有4种配对方式。
系统传递函数 H(z)
直接II型 (Direct Form II)
级联型 (Cascade Form) - 数学分解
分解步骤
1. 分解分子（零点）：
$$ B(z) = 1 + 1.5z^{-1} + 0.5z^{-2} = (1 + z^{-1})(1 + 0.5z^{-1}) $$2. 分解分母（极点）：
$$ A(z) = 1 - 0.7z^{-1} + 0.1z^{-2} = (1 - 0.5z^{-1})(1 - 0.2z^{-1}) $$3. 零极点配对：
两个零点 {-1, -0.5} 和两个极点 {0.5, 0.2} 可以有 2×2 = 4 种配对方式：
$$ H(z) = H_1(z) \cdot H_2(z) $$配对方式1
$$ H(z) = \underbrace{\frac{1 + z^{-1}}{1 - 0.5z^{-1}}}_{H_1(z)} \cdot \underbrace{\frac{1 + 0.5z^{-1}}{1 - 0.2z^{-1}}}_{H_2(z)} $$
配对方式2
$$ H(z) = \underbrace{\frac{1 + z^{-1}}{1 - 0.2z^{-1}}}_{H_1(z)} \cdot \underbrace{\frac{1 + 0.5z^{-1}}{1 - 0.5z^{-1}}}_{H_2(z)} $$
配对方式3
$$ H(z) = \underbrace{\frac{1 + 0.5z^{-1}}{1 - 0.5z^{-1}}}_{H_1(z)} \cdot \underbrace{\frac{1 + z^{-1}}{1 - 0.2z^{-1}}}_{H_2(z)} $$
配对方式4
$$ H(z) = \underbrace{\frac{1 + 0.5z^{-1}}{1 - 0.2z^{-1}}}_{H_1(z)} \cdot \underbrace{\frac{1 + z^{-1}}{1 - 0.5z^{-1}}}_{H_2(z)} $$
并联型 (Parallel Form)
部分分式展开步骤
原始传递函数：
$$ H(z) = \frac{1 + 1.5z^{-1} + 0.5z^{-2}}{1 - 0.7z^{-1} + 0.1z^{-2}} $$1. 提取常数项（分子分母同阶）：
$$ C_0 = \lim_{z \to \infty} H(z) = \frac{b_2}{a_2} = \frac{0.5}{0.1} = 5 $$2. 计算余项：
$$ H(z) - C_0 = \frac{1 + 1.5z^{-1} + 0.5z^{-2}}{1 - 0.7z^{-1} + 0.1z^{-2}} - 5 $$ $$ = \frac{1 + 1.5z^{-1} + 0.5z^{-2} - 5(1 - 0.7z^{-1} + 0.1z^{-2})}{1 - 0.7z^{-1} + 0.1z^{-2}} $$ $$ = \frac{-4 + 5z^{-1}}{1 - 0.7z^{-1} + 0.1z^{-2}} $$3. 对余项进行部分分式展开：
分母因式分解：$$ 1 - 0.7z^{-1} + 0.1z^{-2} = (1 - 0.5z^{-1})(1 - 0.2z^{-1}) $$
$$ \frac{-4 + 5z^{-1}}{(1 - 0.5z^{-1})(1 - 0.2z^{-1})} = \frac{A}{1 - 0.5z^{-1}} + \frac{B}{1 - 0.2z^{-1}} $$4. 求系数A和B：
令 $$ z^{-1} = 2 $$（极点 0.5）：$$ A = \frac{-4 + 5(2)}{1 - 0.2(2)} = \frac{6}{0.6} = 10 $$
令 $$ z^{-1} = 5 $$（极点 0.2）：$$ B = \frac{-4 + 5(5)}{1 - 0.5(5)} = \frac{21}{-1.5} = -14 $$
5. 最终并联形式：
$$ H(z) = 5 + \frac{10}{1 - 0.5z^{-1}} + \frac{-14}{1 - 0.2z^{-1}} $$