数字信号处理：流图与系统函数汇总
图 (a): 单极点反馈结构
x(n)
y(n)
a
z
-1
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解析：
这是一个一阶 IIR 滤波器。 $$ y[n] = x[n] + a y[n-1] $$ $$ H(z) = \frac{1}{1 - az^{-1}} $$
图 (b): 桥式 IIR 结构
x(n)
y(n)
w[n]
z
-1
0.3
0.5
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解析：
设中间变量
$w[n]$
。 $$ w[n] = x[n] + 0.3w[n-1] $$ $$ y[n] = w[n] + 0.5w[n-1] $$ $$ H(z) = \frac{1 + 0.5z^{-1}}{1 - 0.3z^{-1}} $$
图 (c): FIR 横向结构
x(n)
y(n)
z
-1
z
-1
a
b
c
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解析：
$$ y[n] = a x[n] + b x[n-1] + c x[n-2] $$ $$ H(z) = a + bz^{-1} + cz^{-2} $$
图 (d): 直接型 II 变体
x(n)
y(n)
w[n]
z
-1
z
-1
2
0.25
0.25
-3/8
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解析：
设中间节点（延时线顶端）为
$w[n]$
。
反馈部分 (左侧)：
$$ w[n] = x[n] + 0.25w[n-1] - \frac{3}{8}w[n-2] $$
前馈部分 (右侧)：
$$ y[n] = 2w[n] + 0.25w[n-1] $$
系统函数：
$$ H(z) = \frac{2 + 0.25z^{-1}}{1 - 0.25z^{-1} + 0.375z^{-2}} $$
图 (e): 耦合振荡器结构
x(n)
y(n)
w
1
[n]
w
2
[n]
w
3
[n]
z
-1
z
-1
-sin 3/4
cos 3/4
cos 3/4
sin 3/4
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解析：
令 $c = \cos(3/4)$, $s = \sin(3/4)$。
设垂直线上的三个节点变量为
$w_1[n], w_2[n], w_3[n]$
。
由图推导可得系统函数： $$ H(z) = \frac{\sin(\frac{3}{4})z^{-1}}{1 - 2\cos(\frac{3}{4})z^{-1} + \sin(\frac{3}{4})z^{-2}} $$
图 (f): 并行 FIR 结构
x(n)
y(n)
a
z
-1
b
z
-1
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解析：
该流图为并联结构。 $$ H(z) = (1 + a z^{-1}) + (1 + b z^{-1}) = 2 + (a+b)z^{-1} $$
图 (g): IIR 级联结构
x(n)
y(n)
w[n]
b
0
z
-1
z
-1
a
1
a
2
b
1
b
2
z
-1
a
3
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解析：
$$ H(z) = \left( \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2}}{1 - a_1 z^{-1} - a_2 z^{-2}} \right) \cdot \frac{1}{1 - a_3 z^{-1}} $$
图 (h): IIR 并行结构
x(n)
y(n)
w
1
[n]
w
2
[n]
b
0
z
-1
z
-1
a
1
a
2
b
1
b
2
z
-1
a
3
b
3
b
4
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解析：
$$ H(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2}}{1 - a_1 z^{-1} - a_2 z^{-2}} + \frac{b_3 + b_4 z^{-1}}{1 - a_3 z^{-1}} $$
图 (i): 梯形连分式结构
x(n)
y(n)
2
0.24
0.25
0.2
z
-1
z
-1
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解析：
$$ H(z) = 2 + \frac{0.24z^{-1}}{1 + \frac{0.25z^{-1}}{1 + 0.2z^{-1}}} = 2 + \frac{0.24z^{-1}}{1 - 0.25z^{-1} - 0.2z^{-2}} $$ (注：连分式分母中符号取决于反馈环路的定义，这里根据典型连分式展开结构给出通用形式)
图 (j): 级联全极点结构
x(n)
y(n)
w[n]
0.5
-0.75
z
-1
z
-1
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解析：
设第一级输出（即第二级输入）为
$w[n]$
。
总系统函数为： $$ H(z) = \frac{1}{(1 - 0.5z^{-1})(1 + 0.75z^{-1})} $$