离散信号变换的统一与对比

本页旨在通过可视化方法，清晰地展示四种核心离散信号变换——DTFT、DFT、DFS以及Z变换——之间的深刻联系。我们将使用一个简单的有限长信号作为贯穿全文的示例，来观察它在不同变换下的时域和频域表现。

示例信号 \(x[n]\)

我们选择一个长度为 L=4 的矩形脉冲信号，并使用 N=8 的变换长度来分析它。

$$ x[n] = \begin{cases} 1, & 0 \le n \le 3 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$

这是一个非周期、有限长的离散时间信号。序列为 {1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0}。

1. DTFT vs. DFS

DTFT (离散时间傅里叶变换): 针对非周期、离散时间信号 \(x[n]\)。其频谱 \(X(e^{j\omega})\) 是周期、连续的。

DFS (离散傅里叶级数): 针对周期、离散时间信号 \(\tilde{x}[n]\)。其频谱 \(\tilde{X}[k]\) 也是周期、离散的。

核心关系: 要分析非周期信号 \(x[n]\) 与DFS的关系，我们必须先将其进行周期延拓得到 \(\tilde{x}[n]\)。DFS的谱线就是DTFT频谱在一个主周期内的N点等间隔采样。

变换公式

DTFT的频率变量 \(\omega\) 是连续的，取值范围为 \((-\pi, \pi]\)。

$$ X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n} $$

DFS的频率变量是离散的，由整数 \(k\) 索引。角频率为 \(\omega_k = \frac{2\pi}{N}k\)。

$$ \tilde{X}[k] = \sum_{n=0}^{N-1} \tilde{x}[n] e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} \quad \text{或简写为} \quad \tilde{X}[k] = \sum_{n=0}^{N-1} \tilde{x}[n] W_N^{kn} \quad (\text{其中 } W_N = e^{-j\frac{2\pi}{N}}) $$

时域信号

频域幅度谱

观察: 左图展示了原始非周期信号 \(x[n]\) (蓝色粗线) 和它的周期延拓 \(\tilde{x}[n]\) (绿色细线)。右图清晰地显示，DFS的周期性谱线 (绿点) 精确地落在了DTFT的连续谱 (蓝线) 之上。

2. DFS vs. DFT

DFT (离散傅里叶变换): 针对有限长、离散时间信号 \(x[n]\)。其频谱 \(X[k]\) 也是有限长、离散的。

核心关系: DFT可以看作是DFS的一个主周期。它们的计算公式完全相同，但概念不同。DFT将时域和频域都视为有限长序列，这使其非常适合计算机处理。

变换公式

DFS作用于周期为N的信号 \(\tilde{x}[n]\)，产生周期为N的频谱 \(\tilde{X}[k]\)。

$$ \tilde{X}[k] = \sum_{n=0}^{N-1} \tilde{x}[n] W_N^{kn} $$

DFT作用于长度为N的信号 \(x[n]\)，产生长度为N的频谱 \(X[k]\)。

$$ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} \quad \text{或简写为} \quad X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] W_N^{kn} $$

时域信号

频域幅度谱

观察: 时域中，DFT处理有限信号 (红色)，而DFS处理其周期延拓 (绿色背景)。频域中，DFT谱 (细红点) 完全覆盖了DFS谱 (粗绿点) 的一个主周期 (\(k=0, \dots, N-1\))。在数值上，它们在主周期内是等价的。

3. DFT vs. DTFT

核心关系: 这是理论与实践的桥梁。DFT 是对 DTFT 频谱的采样。

一个非常关键且容易混淆的点：虽然DFT和DTFT都可以从同一个有限长信号 \(x[n]\) 开始，但它们描述的频谱是完全不同的。DTFT给出了信号在所有连续频率上的完整信息，而DFT只给出了N个特定频率点的信息。

时域信号

频域幅度谱

观察: 左侧时域图中，两个变换处理的是完全相同的有限长序列数据 \(x[n]\)。然而，在右侧频域图中，它们的差异显而易见：DTFT (蓝线) 产生了一个连续谱，描述了信号在所有归一化频率上的表现；而DFT (红点) 仅产生了该连续谱上的N个离散采样点。这强调了DFT是DTFT的一种有限、可计算的近似。

4. Z变换与DTFT的关系

Z变换 (ZT): 将离散时间信号 \(x[n]\) 变换到一个复变量 \(z\) 构成的复平面上。它适用于更广泛的信号类别，并且是分析LTI系统（如滤波器）的强大工具。

核心关系: DTFT是Z变换在Z平面单位圆 (\(z=e^{j\omega}\)) 上的一个特例。Z变换将一维的频率分析扩展到了二维的复平面，从而可以分析系统的零极点和稳定性。

变换公式

$$ X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} $$

当 \(z = e^{j\omega}\) 时，Z变换就变成了DTFT：

$$ X(e^{j\omega}) = X(z) \Big|_{z=e^{j\omega}} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] (e^{j\omega})^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n} $$

对于我们的信号 \(x[n]\)，其Z变换为： $$ X(z) = 1 + z^{-1} + z^{-2} + z^{-3} = \frac{(z+1)(z-j)(z+j)}{z^3} $$

时域信号

Z变换幅度 |X(z)| 的动态3D视图

图例说明:

  • 紫色网格: Z变换幅度 |X(z)| 的曲面。
  • 红色叉 (X): 极点位置，曲面在此处趋向无穷。
  • 蓝色圈 (O): 零点位置，曲面在此处降为零。
  • 虚线圆: Z平面上的单位圆基座。
  • 橙色“墙”: DTFT幅度谱，即|X(z)|曲面沿单位圆的“切片”。

观察: 右图是Z变换幅度 |X(z)| 的3D曲面图。曲面在原点 (\(z=0\)) 的极点处急剧拉升，在单位圆上的三个零点处精确地降为零。DTFT的幅度谱 (亮橙色“墙”) 正是这个3D曲面与单位圆柱面相交的截线，完美地展示了DTFT是Z变换在单位圆上的一个“切片”。