Z变换综合应用：利用Z变换解差分方程
本案例旨在通过一个具体的差分方程，全面展示使用Z变换分析离散时间系统的完整流程。我们将重点关注因果性、稳定性判断、时域响应求解以及频率响应的分析。
1. 理论基础
- Z变换: 将离散时间序列 \(x[n]\) 变换为复频域函数 \(X(z)\) 的数学工具。$$ X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n} $$ 这里，\(z\) 是一个复变量，通常用极坐标表示为 \(z = re^{j\omega}\)，其中 \(r\) 是幅值，\(\omega\) 是归一化角频率。Z平面就是这个复变量 \(z\) 所在的复平面。
- 时移性质 (Time-Shift Property): 这是Z变换最核心的性质之一。它指出，时域序列的延迟 \(x[n-k]\) 对应于其Z变换乘以 \(z^{-k}\)，即 \(\mathcal{Z}\{x[n-k]\} = z^{-k}X(z)\)。正是这个性质使得差分方程中的延迟项能够被轻松地转换为Z域中的代数项，从而简化求解过程。
- 差分方程: 描述离散时间系统输入 \(x[n]\) 与输出 \(y[n]\) 之间关系的代数方程。对于一个线性时不变(LTI)系统，其通用形式为：$$ \sum_{k=0}^{N} a_k y[n-k] = \sum_{m=0}^{M} b_m x[n-m] $$ LTI系统指其输出对输入的响应与时间无关（时不变性），且满足叠加原理（线性）。因为系统是LTI的，所以时域上的卷积运算可以转换成Z域上的乘法运算，这极大地简化了系统分析。
- 系统函数 H(z): LTI系统冲激响应 \(h[n]\) 的Z变换。它完全描述了系统的特性。对于LTI系统，输出的Z变换 \(Y(z)\) 是输入 \(X(z)\) 与系统函数 \(H(z)\) 的乘积：\(Y(z) = H(z)X(z)\)。这个关系源于卷积定理，即时域中的卷积（\(y[n] = x[n] * h[n]\)）对应Z域中的乘法。因此，我们可以通过代数运算得到 \(H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)}\)。
2. 综合案例分析
考虑一个由以下二阶差分方程描述的离散时间LTI系统：
$$ y[n] + y[n-1] - 6y[n-2] = 5x[n-1] $$
3. 求解系统函数 H(z)
我们假设系统初始条件为零（即系统是松弛的），对差分方程两边取Z变换，将其从时域转换到Z域。
详细计算步骤：
- 对差分方程两边取Z变换: 利用Z变换的线性性质。$$ \mathcal{Z}\{y[n]\} + \mathcal{Z}\{y[n-1]\} - 6\mathcal{Z}\{y[n-2]\} = 5\mathcal{Z}\{x[n-1]\} $$
- 应用时移性质 \(\mathcal{Z}\{f[n-k]\} = z^{-k}F(z)\): $$ Y(z) + z^{-1}Y(z) - 6z^{-2}Y(z) = 5z^{-1}X(z) $$
- 提取公因式: $$ Y(z)(1 + z^{-1} - 6z^{-2}) = X(z)(5z^{-1}) $$
- 求解 \(H(z) = Y(z)/X(z)\): $$ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{5z^{-1}}{1 + z^{-1} - 6z^{-2}} $$
- 化为z的正幂形式（便于分析零极点）: 分子分母同乘以 \(z^2\)。$$ H(z) = \frac{5z^{-1}}{1 + z^{-1} - 6z^{-2}} \times \frac{z^2}{z^2} = \frac{5z}{z^2 + z - 6} $$
4. 系统特性深度分析
4.1 计算零极点
系统函数 \(H(z)\) 的零点和极点决定了系统的核心特性。它们分别是 \(H(z)\) 分子和分母多项式的根。
详细计算步骤：
- 求解零点 (Zeros): 令分子多项式为零。
$$ 5z = 0 \implies z_1 = 0 $$
因此，系统有一个零点在Z平面的原点。
- 求解极点 (Poles): 令分母多项式为零。
$$ z^2 + z - 6 = 0 $$
通过因式分解法：
$$ (z+3)(z-2) = 0 $$
解得两个极点：
$$ p_1 = 2, \quad p_2 = -3 $$
4.2 收敛域(ROC)与系统特性
系统函数 \(H(z)\) 本身不足以唯一确定一个系统，还必须指定其收敛域(ROC)。ROC决定了系统的时域特性，特别是因果性和稳定性。它们之间的关系如下：
- 因果系统：其冲激响应 \(h[n]\) 为右边序列（即当 \(n<0\) 时 \(h[n]=0\)）。其Z变换的ROC在最外层极点的外部，即 \(|z| > |p_{max}|\)。
- 稳定系统：其冲激响应 \(h[n]\) 绝对可和（\(\sum |h[n]| < \infty\)）。其Z变换的ROC必须包含单位圆 \(|z|=1\)。
- 因果且稳定的系统：必须同时满足以上两个条件，这意味着系统的所有极点都必须位于单位圆内部，且ROC为最外层极点到无穷远的区域。
对于我们计算出的系统，极点在 \(p_1=2, p_2=-3\)，这两个极点将Z平面分成了三个区域，从而对应三种可能的ROC和三种不同的系统。
可能性 1: ROC为 \(|z| > 3\)
因果性: ROC是最外层极点之外的区域，系统为因果系统。
稳定性: ROC不包含单位圆 \(|z|=1\)，系统为不稳定。
可能性 2: ROC为 \(2 < |z| < 3\)
因果性: ROC是两个极点之间的环状区域，系统为双边（非因果）系统。
稳定性: ROC不包含单位圆，系统为不稳定。
可能性 3: ROC为 \(|z| < 2\)
因果性: ROC是最内层极点之内的区域，系统为反因果系统。
稳定性: ROC包含单位圆，系统为稳定。
4.3 求解不同ROC下的冲激响应 h[n]
常见Z变换对
在进行逆变换之前，我们先回顾一下最常用的Z变换对。注意它们有两种常见形式：
以\(z^{-1}\)表示的形式（负幂次）通常直接由差分方程得到，便于硬件实现。以\(z\)表示的形式（正幂次）则更适用于通过部分分式法分析零极点。
| 时域序列 \(x[n]\) | Z变换 \(X(z)\) (z-1形式) | Z变换 \(X(z)\) (z形式) | 收敛域 (ROC) |
|---|
| \(\delta[n]\) | 1 | 1 | 整个Z平面 |
| \(a^n u[n]\) | \(\frac{1}{1-az^{-1}}\) | \(\frac{z}{z-a}\) | \(|z| > |a|\) |
| \(-a^n u[-n-1]\) | \(\frac{1}{1-az^{-1}}\) | \(\frac{z}{z-a}\) | \(|z| < |a|\) |
为了求逆Z变换，我们使用部分分式展开法。这里介绍两种常用的计算方法。
方法一：对 H(z)/z 进行部分分式展开 (最常用)
思路: 这种方法之所以常用，是因为对 \(H(z)/z\) 展开后再乘回 \(z\)，能直接得到形如 \(\frac{z}{z-a}\) 的标准项，这与我们表格中的变换对完美匹配，避免了后续的代数变形。
- 构造 \(H(z)/z\):
$$ \frac{H(z)}{z} = \frac{1}{z} \left( \frac{5z}{(z-2)(z+3)} \right) = \frac{5}{(z-2)(z+3)} $$
- 部分分式展开:
$$ \frac{5}{(z-2)(z+3)} = \frac{A}{z-2} + \frac{B}{z+3} $$
- 求解系数 A, B (使用留数法):
$$ A = \left. (z-2) \frac{5}{(z-2)(z+3)} \right|_{z=2} = \frac{5}{5} = 1 $$
$$ B = \left. (z+3) \frac{5}{(z-2)(z+3)} \right|_{z=-3} = \frac{5}{-5} = -1 $$
- 重构 \(H(z)\):
$$ \frac{H(z)}{z} = \frac{1}{z-2} - \frac{1}{z+3} \implies H(z) = \frac{z}{z-2} - \frac{z}{z-(-3)} $$
方法二：直接对 H(z) 进行部分分式展开
思路: 直接对 \(H(z)\) 进行展开，得到的结果不是标准形式，需要利用时移性质 \( \mathcal{Z}\{x[n-k]\} = z^{-k}X(z) \) 进行凑形。
- 对 \(H(z)\) 进行展开:
$$ H(z) = \frac{5z}{(z-2)(z+3)} = \frac{A}{z-2} + \frac{B}{z+3} $$
- 求解系数 A, B:
$$ A = \left. (z-2) \frac{5z}{(z-2)(z+3)} \right|_{z=2} = \frac{5(2)}{2+3} = 2 $$
$$ B = \left. (z+3) \frac{5z}{(z-2)(z+3)} \right|_{z=-3} = \frac{5(-3)}{-3-2} = 3 $$
- 得到展开式:
$$ H(z) = \frac{2}{z-2} + \frac{3}{z+3} $$
- 凑成标准形式:
$$ H(z) = 2 \cdot z^{-1} \left( \frac{z}{z-2} \right) + 3 \cdot z^{-1} \left( \frac{z}{z-(-3)} \right) $$
- 求逆变换 (以因果系统为例): \(\mathcal{Z}^{-1}\{\frac{z}{z-a}\} = a^n u[n]\), 结合时移性质，\(\mathcal{Z}^{-1}\{z^{-1} \frac{z}{z-a}\} = a^{n-1} u[n-1]\)。
$$ h[n] = 2 \cdot (2)^{n-1} u[n-1] + 3 \cdot (-3)^{n-1} u[n-1] $$
(此结果与方法一的 \(h[n] = [2^n - (-3)^n]u[n]\) 在 \(n \geq 1\) 时是等价的，且在 \(n=0\) 时两者都为0)。
接下来，我们使用最直观的方法一的结果 \(H(z) = \frac{z}{z-2} - \frac{z}{z-(-3)}\)，根据不同的ROC进行逆变换。
情况一: 因果系统 (ROC: \(|z| > 3\))
ROC在最外层极点之外，\(h[n]\) 是右边序列。两个分项都对应因果序列。
$$ h[n] = (2)^n u[n] - (-3)^n u[n] = \left[ (2)^n - (-3)^n \right] u[n] $$
情况二: 双边系统 (ROC: \(2 < |z| < 3\))
ROC位于两个极点之间。
- 对于第一项 \(\frac{z}{z-2}\)，其极点为 \(p_1=2\)。由于ROC是 \(|z|>2\)，这一项对应一个右边序列 (即 h[n] 仅在 n ≥ N₀ 时非零)。
- 对于第二项 \(\frac{z}{z-(-3)}\)，其极点为 \(p_2=-3\)。由于ROC是 \(|z|<3\)，这一项对应一个左边序列 (即 h[n] 仅在 n ≤ N₁ 时非零)。
逆变换为：
$$ h[n] = (2)^n u[n] + (-3)^n u[-n-1] $$
情况三: 反因果系统 (ROC: \(|z| < 2\))
ROC在最内层极点之内，\(h[n]\) 是左边序列。两个分项都对应反因果序列。
$$ h[n] = \left[ (-3)^n - (2)^n \right] u[-n-1] $$
4.4 时域响应对比
我们将三种不同情况下的冲激响应 \(h[n]\) 绘制出来，以直观地对比它们的时域行为，清晰地展示了ROC如何决定系统的因果性和稳定性。
h[n] for ROC: \(|z| > 3\) (因果, 不稳定)
观察: 序列从 n=0 开始，幅值随 n 增大而指数级发散。
h[n] for ROC: \(2 < |z| < 3\) (双边, 不稳定)
观察: 序列在正负半轴都存在且都发散，系统不稳定。
h[n] for ROC: \(|z| < 2\) (反因果, 稳定)
观察: 序列仅在 n<0 时存在，并向负无穷衰减至零，是稳定的。
✓ 核心结论
- 因果性由ROC的边界决定：ROC向外延伸至无穷，系统是因果的。ROC向内收缩至原点，系统是反因果的。ROC是环状，系统是双边的。
- 稳定性由ROC是否包含单位圆决定：只有当ROC包含单位圆 \(|z|=1\) 时，系统才是BIBO稳定的。
- 对于本例的 \(H(z)\)，我们不可能同时实现因果和稳定，因为所有极点都在单位圆外。要使系统因果，ROC必须是 \(|z|>3\)，这不包含单位圆；要使系统稳定，ROC必须是 \(|z|<2\)，但这又导致系统是反因果的。
5. 频率响应分析
频率响应的获取
系统的频率响应是通过在Z变换的收敛域(ROC)中，沿着单位圆 \(|z|=1\) (即令 \(z=e^{j\omega}\)) 对系统函数 \(H(z)\)求值得到的。因此，只有当ROC包含单位圆时，系统才具有明确定义的稳态频率响应。在本案例中，这对应于ROC为 \(|z|<2\) 的那个稳定但反因果的系统。下面的动态分析将展示，如何通过\(H(z)\)在单位圆上的几何关系来理解其频率特性。
Z平面 (动态)
幅度谱 |H(ejω)|
相位谱 ∠H(ejω)
✓ 动态图观察与滤波器类型分析
观察Z平面动画，系统函数 \(H(z) = \frac{5z}{(z-2)(z+3)}\) 的幅度 \(|H(z)|\) 是由 "5 * (到零点的距离) / ((到极点p1的距离) * (到极点p2的距离))" 决定的。当单位圆上的点 \(z=e^{j\omega}\) 移动时：
- 到原点零点的距离始终为1。
- 当 \(\omega=0, 2\pi, 4\pi...\) (点在(1,0))时，离极点2的距离最近，所以分母较小，幅度有局部峰值。
- 当 \(\omega=\pi, 3\pi, 5\pi...\) (点在(-1,0))时，离极点-3的距离最近，分母也较小，幅度也有局部峰值。
- 关于相位谱：总相位是零点向量角减去两个极点向量角。由于极点向量角随 \(\omega\) 的变化是非线性的（尤其是在靠近极点时），因此总的相位谱呈现出曲线形状是完全正常的，而非一条直线。
因此，幅度谱在低频(\(\omega \approx 0\))和高频(\(\omega \approx \pi\))区域的增益较高，而在中频区域增益相对较低。这种特性属于带阻滤波器（Band-stop Filter）。
6. 总结
- 我们从差分方程出发，通过Z变换推导出了系统函数 \(H(z) = \frac{5z}{z^2+z-6}\)，并确定了其零点为0，极点为2和-3。
- 基于极点，我们分析了三种可能的ROC，并指出了每种ROC对应的系统类型（因果/反因果/双边）及其稳定性。
- 我们展示了两种逆Z变换求解方法（H(z)/z法、直接法），并详细计算了三种ROC下的冲激响应 \(h[n]\)。
- 通过时域图像和ROC分析，我们直观地揭示了ROC、因果性和稳定性之间的内在联系，并得出此系统无法同时满足因果和稳定的结论。
- 通过在单位圆上对系统函数进行动态分析，我们可视化了其频率响应的形成过程，并判断出其具有带阻滤波器的特性。